Question

已知函數(shù)f(x)=log4(4x+1)+kx（k∈R）是偶函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）定理：函數(shù)g(x)=ax+

b

x

（a、b是正常數(shù)）在區(qū)間(0，

b a

)上為減函數(shù)，在區(qū)間(

b a

，+∞)上為增函數(shù)．參考該定理，解決下面問題：是否存在實數(shù)m同時滿足以下兩個條件：①不等式f(x)-

m

2

＞0恒成立；②方程f（x）-m=0有解．若存在，試求出實數(shù)m的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）是偶函數(shù)建立等式關(guān)系，化簡可得log₄

4x+1

4-x+1

=-2kx，從而x=-2kx對x∈R恒成立，即可求出k的值；
（2）先利用①不等式f(x)-

m

2

＞0恒成立等價于f(x)min＞

m

2

，建立不等關(guān)系求出m的范圍，再根據(jù)②要使方程f（x）-m=0有解，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域，將m分離出來得m=log₄

4x+1

2x

=log₄（2^x+

1

2x

），然后利用所給定理求出m的范圍，最后綜合即可．

解答：解：（1）由函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，可知f（x）=f（-x）．
∴l(xiāng)og₄（4^x+1）+kx=log₄（4^-x+1）-kx．…（2分）
即log₄

4x+1

4-x+1

=-2kx，log₄4^x=-2kx，…（4分）
∴x=-2kx對一切x∈R恒成立．∴k=-

1

2

．…（6分）
（利用f（-1）=f（1）解出k=-

1

2

，可得滿分）
（2）由m=f（x）=log₄（4^x+1）-

1

2

x，
∴m=log₄

4x+1

2x

=log₄（2^x+

1

2x

）．…（8分）
設(shè)u=2^x+

1

2x

，又設(shè)t=2^x，則u=t+

1

t

，由定理，知u_min=u（1）=2，…（10分）
∴m≥log₄2=

1

2

．故要使方程f（x）-m=0有解，m的取值范圍為m≥

1

2

．…（12分）
f(x)-

m

2

＞0?f(x)min＞

m

2

而f(x)min=

1

2

，
∴

1

2

＞

m

2

即m＜1，
綜上所述，

1

2

≤m＜1…（14分）

點評：本題主要考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及根的個數(shù)的判定和利用新定理等有關(guān)基礎(chǔ)知識，屬于中檔題．