Question

（本小題滿分14分）已知數列的前n項和滿足
，其中b是與n無關的常數，且
（1）求；
（2）求的關系式；
（3）猜想用表示的表達式（須化簡），并證明之。

Answer 1

（Ⅲ）由（Ⅰ）得：；；
由③得：；
猜想                      ④ ……………8分
下面用數學歸納法證明猜想④成立.
（i）當時，，所以當時，④式成立；
（ii）假設時，④式成立，即，
當時，由③得

所以，當時，④式也成立.     ………………………………12分
由（i）（ii）可知，對一切自然數，④式都成立，即通項為：
. ………………………14分

略