Question

（2012•寧德模擬）設函數y=cos(2x-

π

3

)-cos2x-1
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（2）若函數y=f（x）-k在[0，π）內恰有兩個零點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將y=cos（2x-

π

3

）-cos2x-1轉化為y=sin（2x-

π

6

）-1，即可求得函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（2）依題意可求得-1≤sin（2x-

π

6

）≤1，從而有-2≤f（x）≤0，繼而得-2＜k＜0．

解答：解：（1）f（x）=cos2xcos

π

3

+sin2xsin

π

3

-cos2x-1
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin（2x-

π

6

）-1…3分
∴函數f（x）的最小正周期是T=

2π

2

=π，…5分
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
∴函數f（x）的單調遞增區間是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）…7分
（2）∵0≤x＜π，f（x）的最小正周期是π，
∴-1≤sin（2x-

π

6

）≤1，
∴-2≤f（x）≤0，…9分
又∵函數y=f（x）-k在（0，π）內恰有兩個零點，
∴-2＜k＜0，
∴k的取值范圍是（-2，0）…12分

點評：本題考查三角函數中的恒等變換應用，考查函數的零點與方程根的關系，考查三角函數的周期性及其求法，考查復合函數的單調性，屬于中檔題．