Question

【題目】平面直角坐標系中，橢圓： （）的離心率是，拋物線： 的焦點是的一個頂點．

（1）求橢圓的方程；

（2）設是上動點，且位于第一象限， 在點處的切線與交于不同的兩點， ，線段的中點為，直線與過且垂直于軸的直線交于點．

（i）求證：點在定直線上；

（ii）直線與軸交于點，記的面積為， 的面積為，求的最大值及取得最大值時點的坐標．

Answer 1

【答案】(1) (2)①見解析②的最大值為，此時點的坐標為

【解析】試題分析：（I）運用橢圓的離心率公式和拋物線的焦點坐標，以及橢圓的a，b，c的關系，解得a，b，進而得到橢圓的方程；

（Ⅱ）（i）設，運用導數求得切線的斜率和方程，代入橢圓方程，運用韋達定理，可得中點D的坐標，求得OD的方程，再令x= ，可得．進而得到定直線；

（ii）由直線l的方程為，令x=0，可得G（0， ），運用三角形的面積公式，可得， ，化簡整理，再（t≥1），整理可得t的二次方程，進而得到最大值及此時P的坐標．

試題解析：

（1）由題意知，可得： .

因為拋物線的焦點為，所以，

所以橢圓C的方程為

（2）（Ⅰ）設，由可得，

所以直線的斜率為，

因此直線的方程為，即.

設，聯立方程

得，

由，得且，

因此,

將其代入得，

因為，所以直線方程為.

聯立方程，得點的縱坐標為，

即點在定直線上

（Ⅱ）由（Ⅰ）知直線方程為，

令得，所以，

又 ，

所以，

，

所以，

令，則，

當，即時， 取得最大值，此時，滿足，

所以點的坐標為，因此的最大值為，此時點的坐標為