Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知圓M的圓心在直線y=﹣2x上，且圓M與直線x+y﹣1=0相切于點P（2，﹣1）．
（1）求圓M的方程；
（2）過坐標原點O的直線l被圓M截得的弦長為 ，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：過點（2，﹣1）且與直線x+y﹣1=0垂直的直線方程為x﹣y﹣3=0，

由 解得 ，

所以圓心M的坐標為（1，﹣2），

所以圓M的半徑為r= ，

所以圓M的方程為 （x﹣1）2+（y+2）2=2

（2）解：因為直線l被圓M截得的弦長為 ，

所以圓心M到直線l的距離為d= = ，

若直線l的斜率不存在，則l為x=0，此時，圓心M到l的距離為1，不符合題意．

若直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=kx，即kx﹣y=0，

由d= = ，

整理得k2+8k+7=0，

解得k=﹣1或﹣7，

所以直線l的方程為x+y=0或7x+y=0

【解析】（1）求求出圓心坐標與半徑，即可求出圓M的方程；（2）分類討論，利用點到直線的距離公式，結合過坐標原點O的直線l被圓M截得的弦長為 ，求直線l的方程．