Question

（2006•石景山區一模）已知數列{a_n}是由正整數組成的數列，a₁=4，且滿足lga_n=lga_n-1+lgb，其中b＞3，n≥2，且n∈N^*，則a_n=

4b^n-1

，

lim

n→∞

3n-1-an

3n-1+an

=

-1

．

Answer 1

分析：由lga_n=lga_n-1+lgb得a_n=ba_n-1（n≥2），可判斷{a_n}是公比為b的等比數列，可求得a_n，而

lim

n→∞

3n-1-an

3n-1+an

=

lim

n→∞

3n-1-4bn-1

3n-1+4bn-1

=

lim

n→∞

( 3 b )n-1-4

( 3 b )n-1+4

，可得答案．

解答：解：lga_n=lga_n-1+lgb，即lga_n=lgba_n-1，
則a_n=ba_n-1（n≥2），
{a_n}是由正整數組成的數列，
所以{a_n}是公比為b的等比數列，又a₁=4，
所以an=4bn-1，
由于b＞3，所以0＜

3

b

＜1，
所以

lim

n→∞

3n-1-an

3n-1+an

=

lim

n→∞

3n-1-4bn-1

3n-1+4bn-1

=

lim

n→∞

( 3 b )n-1-4

( 3 b )n-1+4

=-1，
故答案為：4b^n-1；-1．

點評：本題考查由數列遞推式求數列通項及數列極限的求法，屬中檔題．