Question

【題目】操場上有100個人排成一圈，按順時針方向依次標為，，…，．主持人將編號為l，2，…，50的紀念品按照以下方式依次分發給眾人：先將第l號紀念品交給；然后順時針跳過1個人，將第2號紀念品交給；再順時針跳過2個人，將第3號紀念品交給，……第次順時針跳過個人，將第號紀念品交給，其中，，如此下去，直到紀念品發完為止．試求得到紀念品最多的人及其所得紀念品的編號．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

記第個與第個紀念品為同一人所得．則，

即．

顯然，，且與的奇偶性不同．

（1）如果，則．

（i）若，則．

又，故．

所以，，其中，，1，…，；，2．

經計算，，，，，．

（ii）若，則．

由．

故，，，，，．

（2）如果，則．

（i）若，則．

故，．

（ii）若，則，75．

故，，，，．

綜上，與分別被與得到，其余各人至多得到2個紀念品．