Question

【題目】已知函數y＝f（x）＝。

（1）求y＝f（x）的最大值；

（2）設實數a>0，求函數F（x）＝af（x）在[a，2a]上的最小值。

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

試題（1）令＝0，求得極值點，因此可得到單調區間，從而得到最大值；

（2）根據（1）可知F（x）的單調性，得到F（x）在[a，2a]上的最小值為F（a）和F（2a）之中的較小者，作差討論即可得到結果.

試題解析：（1）＝.

令＝0得x＝e.

因為當x∈（0，e）時，>0，f（x）在（0，e）上為增函數；

當x∈（e，＋∞）時，<0，f（x）在（e，＋∞）上為減函數，

所以f（x）max＝f（e）＝。

（2）因為a＞0，由（1）知，F（x） 在（0，e）上單調遞增，

在（e，＋∞）上單調遞減，

所以F（x） 在[a，2a]上的最小值F（x）min＝min{F（a），F（2a）}。

因為F（a）－F（2a）＝，

所以當0<a≤2時，F（a）－F（2a）≤0，F（x）min＝F（a）＝ln a，

當a>2時，F（a）－F（2a）>0，F（x）min＝F（2a）＝ln2a