Question

【題目】在中，，．已知，分別是，的中點．將沿折起，使到的位置且二面角的大小是．連接，，如圖：

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成二面角的大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）法一：由．設的中點為，連接．

設的中點為，連接，．而即為二面角的平面角．

，推導出．由，，從而平面．由，得平面，從而，即．進而平面．推導出四邊形為平行四邊形．從而，平面，由此能證明平面平面．

法二：以為原點，在平面中過作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明平面平面．

（Ⅱ）以為原點，在平面中過. 作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面與平面所成二面角大小．

（Ⅰ）證法一：是的中點，．

設的中點為，連接．設的中點為，連接，．

由題意得，，

即為二面角的平面角．，

為的中點．，為等邊三角形，．

，，，平面．

，平面，，即．

，平面．

，分別為，的中點．，

四邊形為平行四邊形．，平面，

又平面．平面平面．

法二：如圖，以為原點，為軸，在平面中過作的垂線為軸， 為軸，建立空間直角坐標系，

設．則，，，，．

設平面的法向量為，，，

，令，則，

設平面的法向量為，

，，

，取，得．

，平面平面．

解：（Ⅱ）如圖，以為原點，為軸，在平面中過作的垂線為軸， 為軸，建立空間直角坐標系，

設．則，，，，．

平面的法向量

設平面的法向量為，

，，

，取，得．

設平面與平面所成的二面角的平面角為，

由圖形觀察可知，平面與平面所成的二面角的平面角為銳角．

平面與平面所成二面角大小為．