Question

【題目】若數列滿足：存在正整數，對任意的，使得成立，則稱為階穩增數列.

（1）若由正整數構成的數列為階穩增數列，且對任意，數列中恰有個，求的值；

（2）設等比數列為階穩增數列且首項大于，試求該數列公比的取值范圍；

（3）在（1）的條件下，令數列（其中，常數為正實數），設為數列的前項和.若已知數列極限存在，試求實數的取值范圍，并求出該極限值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）設，由題意得出，求出正整數的值即可；

（2）根據定義可知等比數列中的奇數項構成的等比數列為階穩增數列，偶數項構成的等比數列也為階穩增數列，分和兩種情況討論，列出關于的不等式，解出即可；

（3）求出，然后分、和三種情況討論，求出，結合數列的極限存在，求出實數的取值范圍.

（1）設，由于數列為階穩增數列，則，

對任意，數列中恰有個，

則數列中的項依次為：、、、、、、、、、、、、、、、、，

設數列中值為的最大項數為，

則，

由題意可得，即，，解得，

因此，；

（2）由于等比數列為階穩增數列，即對任意的，，且.

所以，等比數列中的奇數項構成的等比數列為階穩增數列，偶數項構成的等比數列也為階穩增數列.

①當時，則等比數列中每項都為正數，由可得，整理得，解得；

②當時，

（i）若為正奇數，可設，則，

由，得，即，整理得，解得；

（ii）若為正偶數時，可設，則，

由，得，即，整理得，解得.

所以，當時，等比數列為階穩增數列.

綜上所述，實數的取值范圍是；

（3），由（1）知，則.

①當時，，，則，

此時，數列的極限不存在；

②當時，，

，

上式下式得，

所以，，則.

（i）若時，則，此時數列的極限不存在；

（ii）當時，，

此時，數列的極限存在.

綜上所述，實數的取值范圍是.