Question

【題目】設(shè)點(diǎn)是軸上的一個(gè)定點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為（），已知當(dāng)時(shí)，動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)且與直線相切，記動(dòng)圓的圓心的軌跡為．

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若直線與曲線相切于點(diǎn)（），且與以定點(diǎn)為圓心的動(dòng)圓也相切，當(dāng)動(dòng)圓的面積最小時(shí)，證明： 、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差為定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由切線的性質(zhì)知點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，即點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，由此可得方程；

（Ⅱ）設(shè)出直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立方程組，利用相切（判別式為0）可得斜率，點(diǎn)到此直線的距離就是圓的半徑，變形為用基本不等式求出它的最小值，而最小值時(shí)恰好有，結(jié)論得證．

試題解析：

（Ⅰ）因?yàn)閳A與直線相切，所以點(diǎn)到直線的距離等于圓的半徑，

所以，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等.

所以，點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，

所以圓心的軌跡方程，即曲線的方程為．

（Ⅱ）由題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，

由得，

又，所以，

因?yàn)橹本�與曲線相切，所以，解得．

所以，直線的方程為．　

動(dòng)圓的半徑即為點(diǎn)到直線的距離.

當(dāng)動(dòng)圓的面積最小時(shí)，即最小，而當(dāng)時(shí)；

.

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，

所以當(dāng)動(dòng)圓的面積最小時(shí)， ，

即當(dāng)動(dòng)圓的面積最小時(shí)， 、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差為定值.