Question

【題目】已知圓經(jīng)過點(diǎn)且與直線相切，圓心的軌跡為曲線，點(diǎn)為曲線上一點(diǎn).

（1）求的值及曲線的方程；

（2）若為曲線上異于的兩點(diǎn)，且.記點(diǎn)到直線的距離分別為，判斷是否為定值，若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；2.（2）是定值，定值為16.

【解析】

（1）根據(jù)已知條件，利用拋物線的定義得到曲線的軌跡，根據(jù)焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)的斜率,利用點(diǎn)斜式寫出直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，根據(jù)是一個(gè)交點(diǎn)，利用韋達(dá)定理求得的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到,同理得到，計(jì)算可得是定值.

（1）由圓經(jīng)過點(diǎn)且與直線相切，可知到(0,1)的距離等于到直線的距離，由拋物線的定義可得，點(diǎn)的軌跡為以(0,1)為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以其方程為，

將的坐標(biāo)代入，得到；

（2）當(dāng)的斜率為時(shí)（顯然斜率存在且不為零），的斜率為 ，對(duì)應(yīng),即,與拋物線方程聯(lián)立消去，整理得：

∵是直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，∴

同理

∴（定值）.