Question

【題目】已知函數(shù)（且為常數(shù)）．

（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在的單調(diào)性；

（2）設(shè)可求導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)函數(shù)仍可求導(dǎo)數(shù)，則再次求導(dǎo)所得函數(shù)稱(chēng)為原函數(shù)的二階函數(shù)，記為，利用二階導(dǎo)函數(shù)可以判斷一個(gè)函數(shù)的凹凸性．一個(gè)二階可導(dǎo)的函數(shù)在區(qū)間上是凸函數(shù)的充要條件是這個(gè)函數(shù)在的二階導(dǎo)函數(shù)非負(fù)．

若在不是凸函數(shù)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】試題分析：

(1)將 代入函數(shù) 的解析式，利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性即可；

(2)利用題中所給的新知識(shí)結(jié)合題意考查函數(shù)的二次導(dǎo)函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，據(jù)此求解實(shí)數(shù) 的取值范圍即可.

試題解析：

(I) 令 得

設(shè) 則

當(dāng)時(shí)， ， 在上是單調(diào)增函數(shù)，

故而， 是在內(nèi)的唯一零點(diǎn)，即是在內(nèi)的唯一零點(diǎn)．

所以當(dāng)時(shí)， ，即在上是單調(diào)減函數(shù);

當(dāng)時(shí)， ，即在上是單調(diào)增函數(shù)．

(II)

如果在是凸函數(shù)，那么 都有

令 即得

當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，

即在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減， 所以

即 又在不是凸函數(shù)，所以