Question

已知圓C的圓心坐標是（-

1

2

，3），且圓C與直線x+2y-3=0相交于P，Q兩點，又OP⊥OQ，O是坐標原點，求圓C的方程．

Answer 1

設圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0．其圓心為（-

D

2

，-

E

2

），則
-

D

2

=-

1

2

，-

E

2

=3，
∴D=1，E=-6，
∴圓方程為x²+y²+x-6y+F=0．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則P，Q兩點坐標適合方程組x²+y²+x-6y+F=0x+2y-3=0
消去x得，5y²-20y+12+F=0由韋達定理得：y₁+y₂=4，y₁y₂=

12+F

5

∴x₁x₂=（-2y₁+3）（-2y₂+3）=4y₁y₂-6（y₁+y₂）+9=

4F-27

5

∵OP⊥OQ，
∴

y1y2

x1x2

=-1，
即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

4F-27

5

+

12+F

5

=0，
∴F=3
故所求圓的方程為x²+y²+x-6y+3=0