Question

【題目】已知函數()，().

（1）若恒成立，求實數的取值范圍；

（2）當時，過上一點作的切線，判斷：可以作出多少條切線，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）2條切線，理由見解析

【解析】

（1）把轉化為：，要使得恒成立，即滿足的最小值大于0.

（2）設切點，則，對方程化簡，判斷的個數即可，得出切線的條數.

（1）令()

所以

令，解得. 當變化時，，的變化情況如下表：

	-	0	+
	減	極小值	增

所以在的最小值為

令，解得.

所以當時，恒成立，即恒成立.

（2）可作出2條切線.

理由如下：當時，.

設過點的直線與相切于點，

則即

整理得

令，則在上的零點個數與切點的個數一一對應.

，令解得.

當變化時，，的變化情況如下表：

	-	0	+
	減	極小值	增

所以在上單調遞減，在上單調遞增.

且

所以在和上各有一個零點，即有兩個不同的解.

所以過點可作出的2條切線.