Question

【題目】如圖，四邊形為正方形，平面.

(1)求證：；

(2)若點在線段上，且滿足，求證：平面；

(3)求證：平面.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

要證，轉化為證明直線平面，再轉化為平面即可

過作，垂足為，連接，則，又可得，所以四邊形為平行四邊形，則，最后根據線面平面的判定定理即可得證

由可知，再利用平面幾何知識得出，最后利用直線與平面垂直的判定定理即可得證

(1)因為EF∥AB，所以EF與AB確定平面EABF，

因為EA⊥平面ABCD，所以EA⊥BC.

由已知得AB⊥BC且EA∩AB＝A，

所以BC⊥平面EABF.

又AF平面EABF，

所以BC⊥AF.

(2)過M作MN⊥BC，垂足為N，連接FN，則MN∥AB.

又CM＝AC，

所以MN＝AB.

又EF∥AB且EF＝AB，

所以EF∥MN且EF＝MN，

所以四邊形EFNM為平行四邊形，

所以EM∥FN.

又FN平面FBC，EM平面FBC，

所以EM∥平面FBC.

(3)由(1)可知，AF⊥BC.

在四邊形ABFE中，AB＝4，AE＝2，EF＝1，

∠BAE＝∠AEF＝90°，

所以tan∠EBA＝tan∠FAE＝，

則∠EBA＝∠FAE.

設AF∩BE＝P，

因為∠PAE＋∠PAB＝90°，

故∠PBA＋∠PAB＝90°，

則∠APB＝90°，即EB⊥AF.

又因為EB∩BC＝B，所以AF⊥平面EBC.