Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）滿足2x2f（x）+x3f′（x）=ex ， f（2）= ，則x∈[2，+∞）時(shí)，f（x）（ ）
A.有最大值
B.有最小值
C.有最大值
D.有最小值

Answer 1

【答案】B
【解析】解：由2x2f（x）+x3f'（x）=ex ， 當(dāng)x＞0時(shí)，
故此等式可化為：f'（x）= ，且當(dāng)x=2時(shí)，f（2）= ，
f'（2）= =0，
令g（x）=e2﹣2x2f（x），g（2）=0，
求導(dǎo)g′（x）=e2﹣2[x2f′（x）+2xf（x）]=e2﹣ = （x﹣2），
當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，
則g（x）在x∈[2，+∞）上單調(diào)遞增，
g（z）的最小值為g（2）=0，
則f'（x）≥0恒成立，
∴f（x）的最小值f（2）= ，
故選：B．
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．