【題目】如圖(1)是一個水平放置的正三棱柱
， 
是棱
的中點．正三棱柱的正（主）視圖如圖(2)．
(Ⅰ)求正三棱柱
的體積；
(Ⅱ)證明： 
；
(Ⅲ)圖（1）中垂直于平面
的平面有哪幾個？（直接寫出符合要求的平面即可，不必說明或證明）
【答案】（1）
（2）見解析（3）見解析
【解析】試題分析：(1)由圖可得高為3，底面為正三角形，邊長為2，根據正三棱柱的體積求體積(2) 設
，根據三角形中位線性質得
，再根據線面平行判定定理得結果（3）因為平面
的垂線為AD，所以垂面為平面
、平面
、平面
試題解析：解：(Ⅰ)依題意，在正三棱柱中， 
， 
，從而
所以正三棱柱的體積
．
(Ⅱ)連接
，設
，連接
因為
是正三棱柱的側面，所以
是矩形， 
是
的中點
所以
是
的中位線， 
因為
， 
， 所以
．
(Ⅲ)平面
、平面
、平面
．
點睛:垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型.
(1)證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行.
(2)證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直.
(3)證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓與拋物線y2＝
x有一個相同的焦點，且該橢圓的離心率為
.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過點P(0,1)的直線與該橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點，若
，求△AOB的面積．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設
為坐標原點，動點
在橢圓
上，過
作
軸的垂線，垂足為
，點
滿足
.（Ⅰ）求點
的軌跡方程
；
（Ⅱ）過
的直線
與點
的軌跡交于
兩點，過
作與
垂直的直線
與點
的軌跡交于
兩點，求證： 
為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示的自動通風設施.該設施的下部
是等腰梯形，其中
為2米，梯形的高為1米， 
為3米，上部
是個半圓，固定點
為
的中點. 
是由電腦控制可以上下滑動的伸縮橫桿（橫桿面積可忽略不計），且滑動過程中始終保持和
平行.當
位于
下方和上方時，通風窗的形狀均為矩形
（陰影部分均不通風）.
（1）設
與
之間的距離為
（
且
）米，試將通風窗的通風面積
（平方米）表示成關于
的函數
；
（2）當
與
之間的距離為多少米時，通風窗的通風面積
取得最大值？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設圓
的圓心為
，直線
過點
且與
軸不重合， 
交圓
于
兩點，過
作
的平行線交
于點
.
（1）證明
為定值，并寫出點
的軌跡方程；
（2）設
，過點
作直線
，交點
的軌跡于
兩點 (異于
),直線
的斜率分別為
，證明： 
為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“累積凈化量（
）”是空氣凈化器質量的一個重要衡量指標，它是指空氣凈化器從開始使用到凈化效率為
時對顆粒物的累積凈化量，以克表示.根據
《空氣凈化器》國家標準，對空氣凈化器的累計凈化量（
）有如下等級劃分：
累積凈化量（克） |
|
|
| 12以上 |
等級 |
|
|
|
|
為了了解一批空氣凈化器（共2000臺）的質量，隨機抽取
臺機器作為樣本進行估計，已知這
臺機器的累積凈化量都分布在區間
中.按照
均勻分組，其中累積凈化量在
的所有數據有： 
和
，并繪制了如下頻率分布直方圖：
（1）求
的值及頻率分布直方圖中的
值；
（2）以樣本估計總體，試估計這批空氣凈化器（共2000臺）中等級為
的空氣凈化器有多少臺？
（3）從累積凈化量在
的樣本中隨機抽取2臺，求恰好有1臺等級為
的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左焦點
與拋物線
的焦點重合，橢圓
的離心率為
，過點
作斜率不為0的直線
，交橢圓
于
兩點，點
，且
為定值．
（1）求橢圓
的方程；
（2）求
面積的最大值．
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