Question

【題目】已知橢圓的中心的中心在中心在坐標原點，焦點在軸上且過點，離心率是．

（）求橢圓的標準方程．

（）直線過點且與橢圓交于、兩點，若，求直線的方程．

Answer 1

【答案】(1) (2) 或．

【解析】試題分析：（1）設橢圓的方程為（），利用所給條件列出方程組，解出即可；（2）易判斷直線不存在斜率時不合題意，當直線存在斜率時，設直線的方程為，與橢圓方程聯立方程組消掉得關于的一元二次方程，設， ，由可得關于， 的方程，連同韋達定理聯立方程組即可求得值.

試題解析：（）設橢圓的方程為，

由已知可得，計算得出， ，

故橢圓的標準方程為．

（）由已知，①若直線的斜率不存在，則過點的直線的方程為，

此時， ，顯然不成立．

②若直線的斜率存在，則設直線的方程為，

由得，

，

設， ，

則，①式， ，②，

∵，∴，則，③式，

①②③聯立計算得出，

∴直線的方程為或．