Question

設函數f（x）=

x-a

（a∈R）．若存在b∈[0，1]，使f（f（b））=b成立，則a的取值范圍是（　　）

• A、[0，

  1

  4

  ]
• B、[1，2]
• C、[0，1]
• D、[

  1

  4

  ，1]

Answer 1

考點：冪函數的性質,函數的值

專題：

分析：根據函數式子得出：存在b∈[0，1]，使f（b）=f^-1（b）”，
即可判斷出y=f（x）的圖象與函數y=f^-1（x）的圖象有交點，
y=f（x）的圖象與函數y=f^-1（x）的圖象的交點必定在直線y=x上，
轉化為根據

x-a

=x，化簡整理得x-a=x²．x∈[0，1]，
即a=x-x²，x∈[0，1]，利用二次函數性質求解即可．

解答： 解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f^-1（b），
其中f^-1（x）是函數f（x）的反函數
因此命題“存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立”，轉化為
“存在b∈[0，1]，使f（b）=f^-1（b）”，
即y=f（x）的圖象與函數y=f^-1（x）的圖象有交點，
且交點的橫坐標b∈[0，1]，
∵y=f（x）的圖象與y=f^-1（x）的圖象關于直線y=x對稱，
∴y=f（x）的圖象與函數y=f^-1（x）的圖象的交點必定在直線y=x上，
由此可得，y=f（x）的圖象與直線y=x有交點，且交點橫坐標b∈[0，1]，
根據

x-a

=x，化簡整理得x-a=x²．x∈[0，1]，
即a=x-x²，x∈[0，1]，
∴根據二次函數的性質得出：0≤a≤

1

4

即實數a的取值范圍為[0，

1

4

]．
故選：A．

點評：本題給出含有根號與指數式的基本初等函數，在存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立的情況下，求參數a的取值范圍．著重考查了基本初等函數的圖象與性質、函數的零點存在性定理和互為反函數的兩個函數的圖象特征等知識，屬于中檔題