Question

設a為實數，記函數的最大值為．
（1）設t＝，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數m(t) ；
（2）求 ；
（3）試求滿足的所有實數a．

Answer 1

（1）,；（2）=（3）.

試題分析：(1)根據的取值范圍求出的范圍，再將用含的式子表示；（2）由題意知即為函數，的最大值，因為對稱軸含有參數，所以要討論處理；（3）根據（2）問得出的，由在對應區域上討論解答即可.
試題解析：（1）∵，∴要使有意義，必須且，即.
∵，且 ①   
∴的取值范圍是,                                          2分
由①得：，
∴，.                 4分
（2）由題意知即為函數，的最大值，
∵直線是拋物線的對稱軸，                       5分
∴可分以下幾種情況進行討論：
①當時，函數，的圖象是開口向上的拋物線的一段，
由知在上單調遞增，故；
②當時，，，有=2；
③當時，，函數，的圖象是開口向下的拋物線的一段，
若即時，，
若即時，，
若即時，.     9分
綜上所述，有=                        10分
（3）當時，；
當時，，，∴，
，故當時，； 
當時，，由知：，故；
當時，，故或，從而有或，
要使，必須有，，即，
此時，.                           13分