Question

【題目】函數f(x)對任意的m，n∈R都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x＞0時，恒有f(x)<1.

（1）試判斷f(x)在R上的單調性，并加以證明；

（2）若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2

（3）若關于的不等式在上有解，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）f(x)在R上為減函數.證明見解析

（2）

（3）

【解析】

根據函數單調性的定義，結合已知條件轉化證明f(x)在R上為減函數。

利用已知條件通過f(3)＝4，求出，然后再利用函數的單調性解不等式f(a2＋a－5)<2。

根據題意關于的不等式在上有解，法一，結合函數的單調性，可轉化為有解，即有解，利用換元法，令，將其轉化為一元二次不等式有解，結合二次函數的性質，進行求解即可；法二，分離參數，得到，利用換元法，令，得，結合對號函數的性質即可解出實數的取值范圍。

解：(1) f(x)在R上為減函數.

證明：設x1，x2∈R，且x1＜x2，

∴x2－x1＞0，∵當x＞0時，f(x)<1

∴f(x2－x1)<1.

f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，

∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1<0f(x1)>f(x2)，

∴f(x)在R上為減函數.

(2)∵m，n∈R，不妨設m＝n＝1，

∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1f(2)＝2f(1)－1，

f(3)＝4f(2＋1)＝4f(2)＋f(1)－1＝43f(1)－2＝4，

∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)＜2＝f(1)，

∵f(x)在R上為減函數，

∴a2＋a－5>1a＜－3或a>2，即a∈

(3)法一：由題意得：，因為在R上為減函數.

，即，

令，則，即在上有解，

設，因為 ，結合圖像可知：

，即，解得：

法二：由題意得：，因為在R上為減函數.

，即，

令，則，在上有解，

由對勾函數可知