Question

設函數f(x)＝2x³－3(a－1)x²＋1，其中a≥1．求函數f(x)的單調區間和極值．

Answer 1

詳見解析．

試題分析：（1）先求導數fˊ（x），求出f′（x）=0的值，然后討論a=1與a＞1兩種情形，再討論滿足f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，從而的函數f（x）的單調區間；（2）討論a=1與a＞1兩種情形，根據（1）可知f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，從而的函數f（x）的極值．
由已知得f(x)＝6x[x－(a－1)]，令f(x)＝0，解得 x₁＝0,x₂＝a－1，．
（1）當a＝1時，f(x)＝6x²，f(x)在(－∞,＋∞)上單調遞增
當a＞1時，f(x)＝6x[x－(a－1)]，f(x),f(x)隨x的變化情況如下表：

x	(－∞,0)	0	(0,a－1)	a－1	(a－1,＋∞)
f?(x)	＋	0		0
f(x)	↗	極大值	↘	極小值	↗

 
從上表可知，函數f(x)在(－∞,0)上單調遞增；在(0,a－1)上單調遞減；在(a－1,＋∞)上單調遞增．
（2）由（1）知，當a＝1時，函數f(x)沒有極值．；當a＞1時，函數f(x)在x＝0處取得極大值，在x＝a－1處取得極小值1－(a－1)³．