Question

如圖四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，垂足為，在上且，，，是的中點，四面體的體積為.

（1）求二面角的正切值；

（2）求直線到平面所成角的正弦值；

（3）在棱上是否存在一點，使異面直線與所成的角為，若存在，確定點的位置，若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）不存在.

【解析】

試題分析：（1）根據四面體的體積及底面積可求出.，為中點，所以，這樣可得為二面角的平面角. 在中即可求得其正切值.

（2）由于面面，所以只需在面ABCD內過點D作交線BG的垂線，即可得PD在面PBG內的射影，從而得PD與面PBG所成的角.（3）存在性的問題，一般都通過建系來求.dsgjghmk兩兩垂直，故可分別以為軸建立坐標系.

假設存在且設

然后用向量的夾角公式求y,如果能求出滿足條件的y則存在，若不能求出滿足條件的y，則不存在.

試題解析：（1）由四面體的體積為.∴

設二面角的大小為為中點，

∴同理∴

∴                    3分

（2）由

∴為等腰三角形，GE為的角平分線，作交BG的延長線于K,

∴

由平面幾何知識可知： ，.設直線與平面所成角為

∴                      8分

（法二：建系）

（3）兩兩垂直，分別以為軸建立坐標系

假設存在且設

∴又直線與所成的角為

∴化簡得：

不滿足

∴這樣的點不存在                        12分

考點：1、二面角；2、線與平面所成的角；3、異面直線所成的角.