Question

【題目】已知函數f(x)＝|2x－1|＋|x－2a|.

(1)當a＝1時，求f(x)≤3的解集；

(2)當x∈[1，2]時，f(x)≤3恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據絕對值定義將不等式化為三個不等式組，分別求解，最后求并集；（2）根據x∈[1，2]得|2x－1|=2x－1，再去絕對值分離變量，最后根據函數最值得實數a的取值范圍．

(1)當a＝1時，由f(x)≤3，可得|2x－1|＋|x－2|≤3，

∴①或②或③

解①得0≤x＜，解②得≤x＜2，解③得x＝2.

綜上可得，0≤x≤2，即不等式的解集為[0，2]．

(2)∵當x∈[1，2]時，f(x)≤3恒成立，

即|x－2a|≤3－|2x－1|＝4－2x，

故2x－4≤2a－x≤4－2x，

即3x－4≤2a≤4－x.

再根據3x－4在x∈[1，2]上的最大值為6－4＝2，4－x的最小值為4－2＝2，

∴2a＝2，∴a＝1，

即a的取值范圍為{1}．