Question

（2012•福建模擬）閱讀下面材料：
根據兩角和與差的正弦公式，有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
令α+β=A，α-β=B有α=

A+B

2

，β=

A-B

2

代入③得 sinA+sinB=2sin

A+B

2

cos

A-B

2

．
（Ⅰ）類比上述推證方法，根據兩角和與差的余弦公式，證明：cosA-cosB=-2sin

A+B

2

sin

A-B

2

；
（Ⅱ）若△ABC的三個內角A，B，C滿足cos2A-cos2B=2sin²C，試判斷△ABC的形狀．
（提示：如果需要，也可以直接利用閱讀材料及（Ⅰ）中的結論）

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過兩角和與差的余弦公式，令α+β=A，α-β=B有α=

A+B

2

，β=

A-B

2

，即可證明結果．
（Ⅱ）解法一：利用二倍角公式以及正弦定理，即可判斷三角形的形狀．
解法二：利用（Ⅰ）中的結論和二倍角公式，cos2A-cos2B=2sin²C，以及A+B+C=π，
推出2sinAcosB=0.∠B=

π

2

．得到△ABC為直角三角形

解答：滿分（12分）．
解法一：（Ⅰ）因為cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，①cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，②…（2分）
①-②得cos（α+β）-cos（α-β）=-2sinαsinβ．③…（3分）
令α+β=A，α-β=B有α=

A+B

2

，β=

A-B

2

，
代入③得cosA-cosB=-2sin

A+B

2

sin

A-B

2

．…（6分）
（Ⅱ）由二倍角公式，cos2A-cos2B=2sin²C可化為1-2sin²A-1+2sin²B=2sin²C，…（8分）
即sin²A+sin²C=sin²B．…（9分）
設△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，
由正弦定理可得a²+c²=b²．…（11分）
根據勾股定理的逆定理知△ABC為直角三角形．…（12分）
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的結論和二倍角公式，cos2A-cos2B=2sin²C可化為-2sin（A+B）sin（A-B）=2sin²C，…（8分）
因為A，B，C為△ABC的內角，所以A+B+C=π，
所以-sin（A+B）sin（A-B）=sin²（A+B）．
又因為0＜A+B＜π，所以sin（A+B）≠0，
所以sin（A+B）+sin（A-B）=0．
從而2sinAcosB=0．…（10分）
又因為sinA≠0，所以cosB=0，即∠B=

π

2

．
所以△ABC為直角三角形．…（12分）

點評：本小題主要考查兩角和與差三角函數公式、二倍角公式、三角函數的恒等變換等基礎知識，考查推理論證能力，運算求解能力，考查化歸與轉化思想等．