Question

已知：關于實數x的方程x²-（t-2）x+t²+3t+5=0有兩個實根，向量

a

=(-1，1，1)，

b

=(1，0，-1)，

c

=

a

+t

b

，當|

c

|取得最小值時，求：實數t的值及此時|

c

|的值．

Answer 1

分析：根據關于實數x的方程x²-（t-2）x+t²+3t+5=0有兩個實根，得出△≥0，解得t的取值范圍，再根據向量模的概念求出|

c

|的表達式，最后利用二次函數的性質求出最小值即可．

解答：解：∵關于實數x的方程x²-（t-2）x+t²+3t+5=0有兩個實根，
∴△=（t-2）²-4（t²+3t+5）≥0----------（2分）
解得：-4≤t≤-

4

3

-----------（2分）       
∵向量

a

=(-1，1，1)，

b

=(1，0，-1)，
∴|

c

|2=(

a

+t

b

)2=2(t-1)2+1-----------（3分）
當t=-

4

3

，|

c

|min=

107 9

---------------（3分）

點評：本小題主要考查向量的模、二次函數的性質、一元二次方程的根的分布與系數的關系、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．