Question

【題目】已知函數．

（1）當時，討論函數的單調性；

（2）若函數有兩個極值點，，證明: ．

Answer 1

【答案】（1）時，在單調遞增；時，在區間，單調遞增；在區間單調遞減．（2）見解析

【解析】

（1）求出導函數，然后根據方程的判別式得到導函數的符號，進而得到函數的單調性；（2）由題意得到方程有兩個根，故可得，且．然后可得，最后利用導數可證得，從而不等式成立．

（1）∵，

∴．

①當，即時，，

所以在單調遞增；

②當，即時，

令，得，，且，，

當時，；

當時，；

∴單調遞增區間為，；

單調遞減區間為．

綜上所述：當時，在單調遞增；

時，在區間，單調遞增；在區間單調遞減．

（2）由（1）得．

∵函數有兩個極值點，，

∴方程有兩個根，，

∴，且，解得．

由題意得

．

令，

則，

∴在上單調遞減，

∴，

∴．