Question

已知點(diǎn)P是直角坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到直線l₁：x=-2的距離為d₁，到點(diǎn)F（-1，0）的距離為d₂，且．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的方程；
（2）直線l過(guò)點(diǎn)F且與曲線C交于不同兩點(diǎn)A、B（點(diǎn)A或B不在x軸上），分別過(guò)A、B點(diǎn)作直線l₁：x=-2的垂線，對(duì)應(yīng)的垂足分別為M、N，試判斷點(diǎn)F與以線段MN為直徑的圓的位置關(guān)系（指在圓內(nèi)、圓上、圓外等情況）；
（3）記S₁=S_△FAM，S₂=S_△FMN，S₃=S_△FBN（A、B、M、N是（2）中的點(diǎn)），問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)λ，使成立．若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出P的坐標(biāo)，利用已知條件列出方程求解求動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的方程；
（2）利用直線l與橢圓的故選列出方程，求出兩個(gè)坐標(biāo)的關(guān)系，通過(guò)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可以比較點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小來(lái)判斷，也可以計(jì)算點(diǎn)與直徑形成的張角是銳角、直角、鈍角來(lái)加以判斷．
（3）利用弦長(zhǎng)公式兩點(diǎn)距離公式，求出S₁=S_△FAM，S₂=S_△FMN，S₃=S_△FBN（A、B、M、N是（2）中的點(diǎn)），使成立．求出λ的值即可．
解答：解 （1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)為P（x，y），依據(jù)題意，有，化簡(jiǎn)得．              …（3分）
因此，動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的方程是：．              …（4分）
（2）點(diǎn)F在以MN為直徑的圓的外部．
理由：由題意可知，當(dāng)過(guò)點(diǎn)F的直線l的斜率為0時(shí)，不合題意，故可設(shè)直線l：x=my-1，如圖所示．                           （5分）
聯(lián)立方程組，可化為（2+m²）y²-2my-1=0，
則點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的坐標(biāo)滿足．                         （7分）
又AM⊥l₁、BN⊥l₁，可得點(diǎn)M（-2，y₁）、N（-2，y₂）．
因，，則=．（9分）
于是，∠MFN為銳角，即點(diǎn)F在以MN為直徑的圓的外部．                 （10分）
（3）依據(jù)（2）可算出，，
則  ==，==．              （15分）
所以，，即存在實(shí)數(shù)λ=4使得結(jié)論成立．            （16分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系與直線與圓的位置關(guān)系的判斷，三角形的面積公式的應(yīng)用，向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．