Question

已知f（x）是奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x²+3x+2，若當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，n≤f（x）≤m恒成立，則m-n的最小值為

9

4

．

Answer 1

分析：先在區(qū)間[-1，-3]，研究二次函數(shù)f（x）=x²+3x+2，得到它的最小值為f（-

3

2

）=-

1

4

，最大值為f（-3）=2，然后根據(jù)f（x）是奇函數(shù)，得到當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，-2≤f(x)≤

1

4

，從而區(qū)間[-2，

1

4

]⊆[n，m]，得到m-n的最小值為

9

4

．

解答：解：∵當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x²+3x+2，，
∴當(dāng)x∈[-1，-3]時(shí)，在[-3，-

3

2

]上，函數(shù)為減函數(shù)，在[-

3

2

，-1]上為增函數(shù)
可得f（x）在[-1，-3]上的最小值為f（-

3

2

）=(-

3

2

) 2 -

3

2

•3+2=-

1

4

最大值為f（-3）=（-3）²-3×3+2=2
∴當(dāng)x∈[-1，-3]時(shí)，-

1

4

≤f(x)≤2
又∵y=f（x）是奇函數(shù)，
∴當(dāng)1≤x≤3，時(shí)-f（x）=f（-x）∈[-

1

4

，2]
即-2≤f(x)≤

1

4

∵當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，n≤f（x）≤m恒成立
∴區(qū)間[-2，

1

4

]⊆[n，m]⇒m-n≥

1

4

-(-2)=

9

4

故答案為：

9

4

點(diǎn)評(píng)：本題以基本初等函數(shù)為載體，考查了函數(shù)的奇偶性、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值和函數(shù)恒成立問題等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．