Question

數列{a_n}滿足a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n∈N^*，n≥2），
已知a₃=95．
（1）求a₁，a₂；
（2）是否存在一個實數t，使得bn=

1

3n

(an+t)(n∈N*)，且{b_n}為等差數列？若存在，則求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）n=2 時，a₂=3a₁+3²-1．
n=3 時，a₃=3a₂+3³-1=95，
∴a₂=23
∴23=3a₁+8
a₁=5．…6分
（2）當n≥2 時
b_n-b_n-1=

1

3n

(an+t)-

1

3n-1

(an-1+t)=

1

3n

(an+t-3an-1-3t）
=

1

3n

(3n-1-2t)=1-

1+2t

3n

要使{b_n} 為等差數列，則必需使，∴t=-

1

2

即存在t=-

1

2

，使{b_n} 為等差數列．…13分