Question

【題目】已知函數為上的偶函數，為上的奇函數，且.

（1）求的解析式；

（2）若函數在上只有一個零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由解之即可；（2）將函數的解析式代入化簡，把函數在上只有一個零點的問題轉化成方程的根的問題，然后利用指數、對數的運算性質進一步轉化為方程，再通過換元法可變為方程只有一個正根的問題，最后分成方程有兩相等正根、一正跟一負根和方程為一次方程三種情況討論即可.

（1） 因為，所以，即，

由解之得：.

（2）

進一步化簡得，

令得：，

化簡得：，令，則，

即方程只有一個正根，當時，，滿足題意；當方程有一正一負兩根時，滿足條件，則，所以；當方程有兩個相等的正根時，則，所以或（舍），時，滿足條件.

綜上，實數的取值范圍為：.