Question

【題目】已知函數是的導函數，為自然對數的底數．

（1）討論的單調性；

（2）當時，證明：；

（3）當時，判斷函數零點的個數，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①當時， 在上為減函數；②當時， 的減區間為，增區間為；（2） 證明見解析；（3）一個零點，理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）討論函數單調性，先求導，當時，，故在上為減函數；當時，解可得，故的減區間為，增區間為；（2）根據，構造函數，設，，當時，，所以是增函數，，得證；（3）判斷函數的零點個數，需要研究函數的增減性及極值端點，由（1）可知，當時，是先減再增的函數，其最小值為，而此時，且，故恰有兩個零點，

從而得到的增減性，當時，；當時，；當時，，從而在兩點分別取到極大值和極小值，再證明極大值，所以函數不可能有兩個零點，只能有一個零點．

試題解析：

（1）對函數求導得，

，

①當時，，故在上為減函數；

②當時，解可得，故的減區間為，增區間為；

（2） ，設，則，

易知當時，，

；

（3）由（1）可知，當時，是先減再增的函數，

其最小值為，

而此時，且，故恰有兩個零點，

∵當時，；當時，；當時，

，

∴在兩點分別取到極大值和極小值，且，

由知，

∴，

∵，∴，但當時，，則，不合題意，所以，故函數的圖象與軸不可能有兩個交點．

∴函數只有一個零點．