Question

【題目】在平面直角坐標系，．以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線的極坐標方程為，點為上的動點，為的中點．

（1）請求出點軌跡的直角坐標方程；

（2）設點的極坐標為若直線經過點且與曲線交于點，弦的中點為，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)；(2)

【解析】

(1)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程為，可得點滿足．利用相關點法即可得出點軌跡的直角坐標方程；

(2)根據已知條件求出直線的參數方程，把直線的參數方程代入，利用根與系數關系求出，由直線的參數方程中的幾何意義可將用表示，再將代入即可求出的取值范圍．

(1)因為的直角坐標方程為，

所以點滿足．

設，因為為的中點，

所以，，所以，，

所以，

整理得的軌跡方程為．

(2)因為直線過點，

所以直線的參數方程為(為參數，為傾斜角，)

代入得，所以，，

所以．