Question

【題目】已知若橢圓：（）交軸于，兩點，點是橢圓上異于，的任意一點，直線，分別交軸于點，，則為定值.

（1）若將雙曲線與橢圓類比，試寫出類比得到的命題；

（2）判定（1）類比得到命題的真假，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）命題為真命題，證明見解析.

【解析】

（1）根據類比推理的基本原則可直接寫出結果；

（2）設，，，表示出直線方程后可求得點坐標，由此得到，同理得到，根據平面向量的數量積運算可構造方程，結合點在雙曲線上可化簡得到結果.

（1）類比得命題：若雙曲線：交軸于兩點，點是雙曲線上異于的任意一點，直線分別交軸于點，則為定值.

（2）在（1）中類比得到的命題為真命題，證明如下：

不妨設，，，則，

∴直線方程為.

令，則，∴點坐標為.

又，∴.

同法可求得：.

∴.

又∵，∴.