Question

定長為3的線段AB兩端點A、B分別在x軸，y軸上滑動，M在線段AB上，且．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）設過且不垂直于坐標軸的動直線l交軌跡C于A、B兩點，問：線段OF上是否存在一點D，使得以DA，DB為鄰邊的平行四邊形為菱形？作出判斷并證明．

Answer 1

解：（1）設A（x₁，0），B（0，y₁），M（x，y）
則，
|AB|=3==1
（2）存在滿足條件的D點．
設滿足條件的點D（0，m），則，
設l的方程為：y=kx+，（k≠0），
代入橢圓方程，得（k²+4）x²+2kx﹣1=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=﹣，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2．
∵以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，
∴，
=，
的方向向量為（1，k），=0，
∴﹣﹣2mk=0即m=
∵k²＞0，
∴m=，
∴0＜m＜，
∴存在滿足條件的點D．