Question

(本小題滿分13分)如圖，在直三棱柱ABC—中， AB = 1,

；點D、E分別在上，且，

四棱錐與直三棱柱的體積之比為3：5。

（1）求異面直線DE與的距離；

（2）若BC =，求二面角的平面角的正切值。

 

Answer 1

解法一：（Ⅰ）因，且，故面，

從而，又，故是異面直線與的公垂線．

設的長度為，則四棱椎的體積為

．

而直三棱柱的體積為．

由已知條件，故，解之得．

從而．

在直角三角形中，，

又因，

故．

（Ⅱ）如答（19）圖1，過作，垂足為，連接，因，，故面．

由三垂線定理知，故為所求二面角的平面角．

在直角中，，

又因，

故，所以．

解法二：

（Ⅰ）如答（19）圖2，以點為坐標原點建立空間直角坐標系，則，，，，則，．

設，則，

又設，則，

從而，即．

又，所以是異面直線與的公垂線．

下面求點的坐標．

設，則．

因四棱錐的體積為

．

而直三棱柱的體積為．

由已知條件，故，解得，即．

從而，，．

接下來再求點的坐標．

由，有，即      （1）

又由得．     （2）

聯立（1），（2），解得，，即，得．

故．

（Ⅱ）由已知，則，從而，過作，

垂足為，連接，

設，則，因為，故

……………………………………①

因且得，即

……………………………………②

聯立①②解得，，即．

則，．

．

又，故，

因此為所求二面角的平面角．又，從而，

故，為直角三角形，所以．

解析:

解法一：（Ⅰ）因，且，故面，

從而，又，故是異面直線與的公垂線．

設的長度為，則四棱椎的體積為

．

而直三棱柱的體積為．

由已知條件，故，解之得．

從而．

在直角三角形中，，

又因，

故．

（Ⅱ）如答（19）圖1，過作，垂足為，連接，因，，故面．

由三垂線定理知，故為所求二面角的平面角．

在直角中，，

又因，

故，所以．

解法二：

（Ⅰ）如答（19）圖2，以點為坐標原點建立空間直角坐標系，則，，，，則，．

設，則，

又設，則，

從而，即．

又，所以是異面直線與的公垂線．

下面求點的坐標．

設，則．

因四棱錐的體積為

．

而直三棱柱的體積為．

由已知條件，故，解得，即．

從而，，．

接下來再求點的坐標．

由，有，即      （1）

又由得．     （2）

聯立（1），（2），解得，，即，得．

故．

（Ⅱ）由已知，則，從而，過作，

垂足為，連接，

設，則，因為，故

……………………………………①

因且得，即

……………………………………②

聯立①②解得，，即．

則，．

．

又，故，

因此為所求二面角的平面角．又，從而，

故，為直角三角形，所以．