Question

已知數列{a_n}和{b_n}滿足：，其中λ為實數，n為正整數．

（Ⅰ）若數列{a_n}前三項成等差數列，求的值；

（Ⅱ）試判斷數列{b_n}是否為等比數列，并證明你的結論；

（Ⅲ）設0<a<b，S_n為數列{b_n}的前n項和．是否存在實數λ，使得對任意正整數n，都有a<S_n<b?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1)  

(2) λ≠-6時，數列｛b_n｝是以－(λ＋6)為首項，－為公比的等比數列.

(3) λ的取值范圍是（－b－6, －3a－6）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明：，

由條件可得，所以  （4分）

(Ⅱ)解：因為b_n+1=(-1)ⁿ⁺¹［a_n+1-3(n-1)+9］=(-1)ⁿ⁺¹(a_n-2n+6)

=(-1)ⁿ·（a_n-3n+9）=-b_n

又b₁=,所以

當λ＝－6時，b_n=0(n∈N⁺),此時｛b_n｝不是等比數列，

當λ≠－6時，b₁=≠0,由上可知b_n≠0，∴(n∈N⁺).

故當λ≠-6時，數列｛b_n｝是以－(λ＋6)為首項，－為公比的等比數列. （10分）

(Ⅲ)由（Ⅱ）知，當λ=-6,b_n=0,S_n=0,不滿足題目要求.

∴λ≠-6，故知b_n= －(λ+6)·(－)^n-1，于是可得

S_n=

要使a<S_n<b對任意正整數n成立，

即a<-(λ+6)·［1－（－）ⁿ］<b(n∈N⁺)

   ①

當n為正奇數時，1<f(n)

∴f(n)的最大值為f(1)=,f(n)的最小值為f(2)= ,

于是，由①式得a<-(λ+6)<

當a<b3a時，由－b－6－3a－6，不存在實數滿足題目要求；

當b>3a時存在實數λ，使得對任意正整數n,都有a<S_n<b,

且λ的取值范圍是（－b－6, －3a－6）  （16分）

考點：等差數列和等比數列

點評：熟練的根據等差數列和等比數列的定義和求和來求解，屬于中檔題。