Question

設三棱錐P—ABC的頂點P在底面ABC內射影O(在△ABC內部，即過P作PO⊥底面ABC，交于O)，且到三個側面的距離相等，則O是△ABC的(    )

A．外心

B．垂心

C．內心

D．重心

Answer 1

C

如圖，設OD⊥AB于D，連結PD，則OD為PD在底面△ABC上的射影，∴PD⊥AB，∴AB⊥平面POD.

∴平面PAB⊥平面POD，且它們的交線為PD.作OE⊥PD于E，則OE⊥平面PAB，
∴OE即為點O到側面PAB的距離.
同理可作出O到側面PBC的垂線段OF.
∵OE=OF，∴Rt△PEO≌Rt△PFO.
∴∠DPO=∠GPO.
∴Rt△POD≌Rt△POG.∴OD=OG.
∴O為△ABC的內心