Question

【題目】如圖，設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的左、右頂點(diǎn)，已知，且

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，試判定直線的斜率之和是否為定值，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

（1）由2a＝8，﹣a＝2（a﹣c），即可求得c的值，則b2＝a2﹣c2，即可求得橢圓方程；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，kAF＝kBF＝0，當(dāng)直線l的斜率不為0，將直線方程代入橢圓方程由韋達(dá)定理及直線的斜率公式即可求得kAF+kBF＝0為定值，

(1)因?yàn)?/span>，所以

又因?yàn)?/span>所以，即

所以，所以

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(2)當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，顯然；

當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，可設(shè)AB方程為代入橢圓方程整理得：

，得或

設(shè)

則

而

綜上可知