Question

【題目】已知拋物線與直線相交于A、B兩點.

（1）求證：；

（2）當的面積等于時，求k的值.

Answer 1

【答案】解: (1) 當k = 0時直線與拋物線僅一個交點, 不合題意, ………… 2分

∴k 0由y =" k" (x+1)得x =–1 代入y 2=" –" x 整理得: y 2+y – 1 =" 0" ， 2分

設A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 則y 1+ y 2= –, y 1y 2=" –1." ………… 2分

∵A、B在y 2=" –" x上, ∴A (–, y 1), B (–, y 2) ，

∴ kOA·kOB===" –" 1 .

∴ OA^OB. …………… 3 分

(2) 設直線與x軸交于E, 則 E ( – 1 , 0 ) ∴|OE| =" 1" ，

【解析】

試題（1）可假設，分別代入拋物線方程與直線方程，化簡整理可得，，利用向量垂直有，即證明；（2）直線與軸的交點為的坐標為，則可將三角形拆為兩個三角形，兩三角形具有相同的底邊，高分別為的縱坐標，利用（1）中的關系便可求得的面積函數，根據函數值求的值．

試題解析：（1）證明：聯立，消去x，得ky2＋y－k＝0．設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1＋y2＝－，y1·y2＝－1．因為y12＝－x1，y22＝－x2，所以（y1·y2）2＝x1·x2，所以x1·x2＝1，所以x1x2＋y1y2＝0，即＝0，所以OA⊥OB．

（2）設直線l與x軸的交點為N，則N的坐標為（－1,0），

所以S△AOB＝|ON|·|y1－y2|

＝×|ON|×

＝×1×＝，

解得k2＝，所以k＝±．