Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為線段的中點，若為線段上的動點（不含）.

（1）平面與平面是否互相垂直？如果是，請證明；如果不是，請說明理由；

（2）求二面角的余弦值的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）平面平面，理由見解析；（2）

【解析】

(1)利用線面垂直的判定定理證明平面，根據線面關系即可證明平面與平面垂直；

(2)建立空間直角坐標系，根據平面與平面法向量的夾角的余弦的取值范圍，計算出二面角的余弦值的取值范圍.

（1）因為，為線段的中點.所以.

因為底面，平面，所以，

又因為底面為正方形，所以，，所以平面，

因為平面，所以.因為，所以平面，

因為平面，所以平面平面.

（2）由題意，以，所在直線分別為，軸建立空間直角坐標系如圖所示，令，

則，，，（其中）.易知平面的一個法向量.

設平面的法向量，由即

令，則是平面的一個法向量.，

由，所以，所以.

故若為線段上的動點（不含），二面角的余弦值的取值范圍是.