Question

【題目】如圖所示,四棱錐的底面是直角梯形，平面，,為中點，且.

（1）求證：平面；

（2）若與底面所成角為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）推導出及，則可證明平面.

（2）由已知線面角可得，以為坐標原點，分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，求出平面SBC的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．

（1）因為平面，平面，所以

在直角梯形中，,∴，∴，

又,所以平面.

（2）因為平面，所以是與底面所成角，，所以

以為坐標原點，分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，

由題意得B（4，0，0），E（2，0，0），C（2，2，0），S（0，0，2 ），

設平面的法向量為（x，y，z），

∴．

所以，即，

面的法向量，同理得面的法向量

二面角的余弦值為