Question

【題目】設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c．向量 =（a， b）， =（sinB，﹣cosA），且 ⊥ ．
（1）求A的大��；
（2）若| |= ，求cosC的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ⊥ ，

∴ =asinB﹣ bcosA=0，

由正弦定理知，

sinAsinB﹣ sinBcosA=0；

又sinB≠0，

∴tanA= ；

∵A∈（0，π），

∴A=

（2）解：∵| |= = ，

∴sin2B+ = ，

解得sin2B= ；

由B∈（0，π），

∴sinB= ；

當(dāng)B為銳角時(shí)，cosB= = ，

cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣ × + × = ；

當(dāng)B為鈍角時(shí)，cosB=﹣ ，

cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣ ×（﹣ ）+ × = ；

綜上，cosC的值為 或

【解析】（1）利用x1x2+y1y2=0將用坐標(biāo)表示，根據(jù)正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB將邊轉(zhuǎn)化為角；（2）根據(jù)=將用坐標(biāo)表示可求出sinB，然后利用兩角和的余弦即可求解.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握若平面的法向量為，平面的法向量為，要證，只需證，即證;即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直．