Question

【題目】將一個半徑為3分米，圓心角為α（α∈（0，2π））的扇形鐵皮焊接成一個容積為V立方分米的圓錐形無蓋容器（忽略損耗）．
（1）求V關于α的函數關系式；
（2）當α為何值時，V取得最大值；
（3）容積最大的圓錐形容器能否完全蓋住桌面上一個半徑為0.5分米的球？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知圓錐的母線l=3，設圓錐的底面半徑為r，則2πr=3α，

∴r= ，∴圓錐的高h= = = ．

∴V= =

（2）解：V= = ≤ =2 ．

當且僅當4π2﹣α2= 即α= 時，取等號．

∴當α= 時，體積V取得最大值

（3）解：當圓錐體積最大時，圓錐的底面半徑r= ．

設圓錐軸截面△ABC的內切圓⊙O半徑為R，如圖所示，

則OD=R，CD=CE= ，AC=3，∴AE= ，AD=3﹣ ．

由△AOD∽△ACE得 ，

∴ ，解得R=3 ≈0.8．

∵0.8＞0.5，

∴容積最大的圓錐形容器能完全蓋住桌面上一個半徑為0.5分米的球．

【解析】（1）根據面積得出圓錐的底面半徑，利用勾股定理求出圓錐的高，代入體積公式即可；（2）利用基本不等式得出體積的最值及取得最值得條件；（3）求出圓錐內切球的半徑，與0.5比較大小．
【考點精析】掌握基本不等式在最值問題中的應用和旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）是解答本題的根本，需要知道用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”；常見的旋轉體有：圓柱、圓錐、圓臺、球．