Question

【題目】如圖，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是邊長為4的正三角形，B，E，F(xiàn)分別是AA1 ， CC1的中點，且BE⊥B1F．
（1）求證：B1F⊥EC1；
（2）求二面角C1﹣BE﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：分別取BC1，BC中點D，G，連結ED，AG，

∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，且底面是正三角形，

∴AG⊥面BCC1B1，

又∵E，D都是中點，∴ED∥AG，則ED⊥面BCC1B1，可得ED⊥B1F，

已知BE⊥B1F，且BE∩ED=E，∴B1F⊥面BEC1，則B1F⊥EC1

（2）解：由（Ⅰ）知B1F⊥面BEC1，∴B1F⊥BC1，則△B1C1F∽△BB1C1，

∴ ，設BB1=a，則C1F= ，代入得a= ，

以O為原點，OE為x軸，OC為y軸，過O作平面ABC的垂線為z軸，建立如圖坐標系O﹣xyz，

得C（0，2，0），B（ ，0，0），E（0，﹣2， ），

C1（0，2，4 ），B1（ ，0， ），F(xiàn)（0，2，2 ）．

∵B1F⊥面BEC1，∴平面BEC1的一個法向量為 ；

設平面BEC的一個法向量為 ，

則 ，取x= ，得y=3，z= ．

∴ ．

∴cos＜ ＞= = = ．

∴二面角C1﹣BE﹣C的余弦值為 ．

【解析】（1）分別取BC1 ， BC中點D，G，連結ED，AG，推導出AG⊥面BCC1B1 ， 從而ED⊥B1F，BE⊥B1F，由此能證明B1F⊥面BEC1 ， 進一步得到B1F⊥EC1；（2）以O為原點，OE為x軸，OC為y軸，過O作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角C1﹣BE﹣C的余弦值．
【考點精析】關于本題考查的空間中直線與直線之間的位置關系，需要了解相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點才能得出正確答案．