Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，側棱PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，E為PB的中點，點F在棱PC上，且PF=λPC．

（1）求直線CE與直線PD所成角的余弦值；
（2）當直線BF與平面CDE所成的角最大時，求此時λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，以A為坐標原點，AD，AB，AP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

則C（1，1，0）、P（0，0，2）、D（1，0，0）、E（0， ，1），

=（﹣1，﹣ ，1）， =（1，0，﹣2），

∴cos＜ ， ＞= = =﹣ ，

∴CE與PD所成角的余弦值為

（2）解：點F在棱PC上，且PF=λPC，∴ ，

∴F（λ，λ，﹣2λ）， =（λ，λ﹣1，2﹣2λ），

又 =（0，﹣1，0）， =（﹣1，﹣ ，1）．

設 為平面CDE的法向量，

則 ，取x=1，得 =（1，0，1）

設直線BF與平面CDE所成的角為θ，

則sinθ=|cos＜ ， ＞|= = ，

令t=2﹣λ，則t∈[1，2]，∴sinθ= = ，

當 ，即t= ∈[1，2]時， 有最小值 ，此時sinθ取得最大值為 ，

即BF與平面CDE所成的角最大，此時 = ，即λ的值為

【解析】（1）以A為坐標原點，AD，AB，AP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出CE與PD所成角的余弦值．（2）求出平面CDE的法向量，利用向量法能求出λ的值．
【考點精析】關于本題考查的異面直線及其所成的角和空間角的異面直線所成的角，需要了解異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能得出正確答案．