Question

（本小題滿分14分）定義：若函數f(x)對于其定義域內的某一數x₀都有f (x₀)= x₀，則稱x₀是f (x)的一個不動點.已知函數f(x)= ax²+(b+1)x+b-1 (a≠0).
（Ⅰ）當a =1，b= -2時，求函數f(x)的不動點；
（Ⅱ）若對任意的實數b，函數f(x)恒有兩個不動點，求a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若y= f(x)圖象上兩個點A、B的橫坐標是函數f(x)的不動點，
且A、B兩點關于直線y = kx+對稱，求b的最小值.

Answer 1

【解】（Ⅰ）x²－x－3 = x，化簡得：x²－2x－3 = 0，解得：x₁ =－1，或x₂ =3
所以所求的不動點為-1或3.………………………4分
（Ⅱ）令ax²+(b+1)x+b-1=x，則a x²+bx+b-1="0      " ①
由題意，方程①恒有兩個不等實根，所以△=b²-4 a (b-1)>0，
即b ²-4ab +4a>0恒成立，………………………………6分
則b ²-4ab +4a=(b-2a)²+4a-4a²>0，故4 a -4a ²>0，即0< a <1 ………………………8分
（Ⅲ）設A(x₁，x₁)，B(x₂，x₂)(x₁≠x₂)，則k_AB=1，∴k=﹣1，
所以y=-x+，……………………………………9分

∴  …………………………………………12分

∴當 a =∈(0，1)時，b_min=-1.………………………………14分

略