Question

【題目】已知橢圓，點在橢圓上，橢圓的離心率是.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設點為橢圓長軸的左端點，為橢圓上異于橢圓長軸端點的兩點，記直線斜率分別為，若，請判斷直線是否過定點？若過定點，求該定點坐標，若不過定點，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）過定點

【解析】

（1）由點M（﹣1，）在橢圓C上，且橢圓C的離心率是，列方程組求出a＝2，b，由此能求出橢圓C的標準方程．

（2）設點P，Q的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），當直線PQ的斜率存在時，設直線PQ的方程為y＝kx+m，聯立，得：（4k2+3）x2+8kmx+（4m2﹣12）＝0，利用根的判別式、韋達定理，結合已知條件得直線PQ的方程過定點（1，0）；再驗證直線PQ的斜率不存在時，同樣推導出x0＝1，從而直線PQ過（1，0）．由此能求出直線PQ過定點（1，0）．

（1）由點在橢圓上，且橢圓的離心率是，

可得，

可解得：

故橢圓的標準方程為.

（2）設點的坐標分別為，

（ⅰ）當直線斜率不存在時，由題意知，直線方程和曲線方程聯立得：，，

（ⅱ）當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

聯立，消去得：，

由，有，

由韋達定理得：，，

故，可得：，

可得：，

整理為：，

故有，

化簡整理得：，解得：或，

當時直線的方程為，即，過定點不合題意，

當時直線的方程為，即，過定點，

綜上，由（ⅰ）（ⅱ）知，直線過定點.