Question

[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計(jì)20分．請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)．
A．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，圓O的直徑AB=8，C為圓周上一點(diǎn)，BC=4，過(guò)C作圓的切線l，過(guò)A作直線l的垂線AD，D為垂足，AD與圓O交于點(diǎn)E，求線段AE的長(zhǎng)．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
已知二階矩陣A有特征值λ₁=3及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量α1=

1 1

，特征值λ₂=-1及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量α2=

1 -1

，求矩陣A的逆矩陣A^-1．
C．（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系（兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度），已知點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為（-2，6），點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(4，

π

2

)，直線l過(guò)點(diǎn)A且傾斜角為

π

4

，圓C以點(diǎn)B為圓心，4為半徑，試求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程．
D．（選修4-5：不等式選講）
設(shè)a，b，c，d都是正數(shù)，且x=

a2+b2

，y=

c2+d2

．求證：xy≥

(ac+bd)(ad+bc)

．

Answer 1

分析：A 利用條件△OBC為正三角形，得∠DCA=∠CBO=60°；再結(jié)合條件得∠EAB=60°；最后在RT△BAE中，求出結(jié)論即可．
B 先設(shè)出矩陣A，根據(jù)條件列出關(guān)于變量得四個(gè)等式，解出變量即可求出矩陣A；進(jìn)而求出矩陣A的逆矩陣A^-1．
C：直接根據(jù)直線L過(guò)點(diǎn)（-2，6），傾斜角為

π

4

即可求出直線l的參數(shù)方程，同理得到圓C的極坐標(biāo)方程．
D；直接根據(jù)（a²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）²=（ad-bc）²≥0，進(jìn)而得到

a2+b2

c2+d2

≥ac+bd＞0，①．同理得到：

a2+b2

c2+d2

≥ad+bc＞0  ②；相乘即可得結(jié)論．

解答：解：A、證明：連接OC，BE，AC，則BE⊥AE，
∵BC=4，
∴OB=OC=BC=4，即△OBC為正三角形．
∴∠CBO=∠COB=60°．
又直線L切圓O與C，
∴∠DCA=∠CBO=60°；
∵AD⊥L，∴∠DAC=90°-60°=30°．
而∠OAC=∠ACO=

1

2

∠COB=30°．
∴∠EAB=60°．
在RT△BAE中，∠EBA=30°，∴AE=

1

2

AB=4．
B；解：設(shè)二階矩陣A=

.

a b c d

.

，
則有

.

a b c d

.

.

1 1

.

=3

.

1 1

.

，且

.

a b c d

.

.

1 -1

.

=-

.

1 -1

.

，
即

a+b=3 a-b=-1

，且

c+d=3 c-d=1

，
解得a=1，b=2，c=2，d=1．
∴A=

.

1 2 2 ′1

.

，從而A^-1=

.

- 1 3 2 3 2 3 - 1 3

.

．
C．直線L過(guò)點(diǎn)（-2，6），傾斜角為

π

4

．
所以直線得參數(shù)方程為

x=-2+ 2 2 t y=6+ 2 t 2

（t為參數(shù)）．
又圓心B得直角坐標(biāo)為（0，4），半徑為4，
所以圓C得直角坐標(biāo)方程為：x²+（y-4）²=16．
將x=ρ•cosθ，y=ρ•sinθ代入化簡(jiǎn)得圓C得極坐標(biāo)為ρ=8•sinθ．
D；∵（a²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）²=（ad-bc）²≥0，
∴（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²，又a，b，c，d都是正數(shù)．
∴

a2+b2

c2+d2

≥ac+bd＞0，①．
同理：

a2+b2

c2+d2

≥ad+bc＞0  ②．
①×②得：（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）（ad+bc）＞0．
∴

(a2+b2)(c2+d2)

≥

(ac+bd)(ad+bc)

，
∴xy≥

(ac+bd)(ad+bc)

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，簡(jiǎn)單的矩陣運(yùn)算和利用基本不等式證明不等式，屬于基礎(chǔ)題．